MATEMATIKA
Borka Marinković
Oblasti matematike u primeni
Univerzalni jezik nauke
Matematika ima dugu i bogatu istoriju koja se proteže hiljadama godina unazad. Prvi matematički koncepti, kao što su brojni sistemi, razvile su drevne civilizacije Vavilonaca i Egipćana. Grčki matematičari uveli su formalnu geometriju i aksiomatski pristup. Arapska srednjevekovna matematika je preuzela otkrića i rezultate od indijskih i grčkih matematičara i uvela algebru kao bazičnu disciplinu. Renesansni i kasniji matematičari razvili su nove oblasti pre svega matematičku analizu i analitičku geomeriju. U 19. i 20. veku, matematika se značajno proširila na nove discipline, uključujući teoriju skupova, topologiju, teoriju brojeva i matematičku logiku.
Razvojem računara, numerička matematika i algoritmi postali su ključni u primenjenim naukama i tehnologiji: od fizike i inženjerstva do ekonomije i veštačke inteligencije, potvrđujući status matematike kao univerzalnog jezika nauke. Napredak u računarskoj snazi omogućio je rešavanje složenih problema koji su donedavno bili matematički neizvodivi, otvarajući vrata novim teorijama i primenama.
Današnja istraživanja u matematici sve više se fokusiraju na interdisciplinarne oblasti, poput mašinskog učenja, kriptografije, kvantne teorije informacija i matematičke biologije. Linearna algebra i teorija verovatnoće stoje iza mašinskog učenja kako bi se poboljšali algoritmi dubokog učenja i analiza velikih podataka. Linearna algebra igra ključnu ulogu i u veštačkoj inteligenciji (AI).
Veštačka inteligencija radi sa velikim skupom podataka. Neki podaci, kao što su slike su matrice piksela i rečenice u obradi prirodnog jezika (NLP), konvertuju se u numeričke vektore. Matrične operacije, posebno množenje, koriste se za izračunavanje vrednosti u veštačkim neuronskim mrežama. Na primer: svaki sloj neuronske mreže množi ulazne vektore sa matricama težina, što omogućava učenje i prepoznavanje obrazaca.
Matrice i vektori, obrada jezika
Metode poput PCA (Principal Component Analysis) koriste linearnu algebru za smanjenje broja promenljivih (redukciju dimenzionalnosti) u podacima, čime se ubrzava obrada i poboljšavaju performanse modela. Sabijanje (komprimovanje) podataka se koristi u algoritmima za prepoznavanje slika, sistema preporuka i analizi velikih podataka. Algoritmi gradijentnog spusta, koji se koriste za minimizaciju greške modela, oslanjaju se na matrične i vektorske operacije za ažuriranje parametara neuronskih mreža.
Matrice i vektori se koriste za predstavljanje reči u numeričkom obliku. Merenje sličnosti reči i fraza se vrši pomoću kosinusa ugla između vektora. Osim linearne algebra, obrada prirodnog jezika oslanja se na verovatnoću i statistiku. N-gram modeli izračunavaju verovatnoću pojavljivanja naredne reči na osnovu prethodnih.
U analizu sentimenta uključeni su Bajesovi (Bayes) modeli. Distribucionalna semantika se zasniva na testiranju hipoteze kojom se značenja reči mogu odrediti na osnovu njihovog konteksta u tekstu. Optimizacija i numerička matematika upotrebljene su za podešavanje parametara NLP modela u algoritmima za ubacivanje reči.
U obradi prirodnih jezika koriste se i modeli na osnovu teorije grafova. Osobine veza između čvorova u grafovima pomažu razumevanju odnosa među rečima. Google pretraga koristi PageRank algoritam zasnovan na teoriji grafova u analizi teksta i rangiranju informacija. Teorija informacija se koristi za ocenjivanje relevantnosti reči u tekstu i pronalaženje značajnih reči u nekom dokumentu.
Neki modeli kao Transformer uključuju upotrebu diferencijalnih jednačina. Kombinacija linearne algebre, teorije verovatnoće i optimizacije omogućava razumevanje i modelovanje tekstualnih podataka, čineći modernu obradu jezika efikasnom i preciznom.
Bezbednost i kako je steći
S obzirom na sve veću potrebu za bezbednošću podataka, istraživanja u oblasti postkvantne kriptografije i primene teorije brojeva u enkripciji su u fokusu rada. Primena teorije brojeva u enkripciji zasniva se na složenim matematičkim problemima koji su teški za rešavanje ali jednostavni za proveru, što omogućava sigurnu komunikaciju i zaštitu podataka. RSA (Rivest-Shamir-Adleman) jedan je od najpoznatijih kriptografskih algoritama koji koristi proizvod dva velika prosta broja za generisanje javnog i privatnog ključa. Sigurnost RSA zavisi od rešavanja problema faktorisanja velikih brojeva - lako je pomnožiti dva velika prosta broja, ali je veoma teško odrediti njihove činioce ako je poznat samo njihov proizvod.
Eliptička kriptografija (ECC) koristi matematičke operacije nad eliptičkim krivama u modularnoj aritmetici kako bi obezbedila sigurnu enkripciju. ECC pruža istu sigurnost kao RSA, ali sa mnogo manjim ključevima, što je efikasnije za mobilne uređaje.
Diffie-Hellman razmena ključeva je metod koji omogućava dvema stranama da bezbedno podele tajni ključ putem nesigurne mreže. Zasnovan je na problemu diskretnog logaritma, koji nije lak za rešavanje kada su brojevi veliki. A klasični kriptosistemi poput RSA i ECC mogu biti ugroženi razvojem kvantnih računara. Postkvantni algoritmi koriste probleme iz teorije brojeva, poput rešetkastih struktura (LWE - Learning with Errors), i otporni su na kvantne napade. Razvoj kvantnih računara i istraživanja u oblasti kvantne teorije informacija zahtevaju nove matematičke metode, uključujući složene analize i teoriju operatora. Teorija operatora daje matematički aparat za opisivanje kvantnih sistema, omogućavajući modelovanje merenja, evolucije i fundamentalnih principa kvantne mehanike. Ona je esencijalna za razumevanje kvantne mehanike, kvantne informatike i kvantne teorije polja.
Najzad, grafika i animacija!
Topologija i geometrija su oblasti matematike koje su najvažnije za napredak u teorijskoj fizici, kompjuterskoj grafici i biološkim istraživanjima (npr. modeliranje proteina). Kompjuterska grafika je oblast računarstva koja se bavi generisanjem, manipulacijom i prikazivanjem vizuelnih sadržaja pomoću računara. Ova disciplina obuhvata teorijske i praktične aspekte modeliranja, renderovanja i animacije digitalnih slika i 3D objekata. Renderovanje je osnovni proces u digitalnoj umetnosti i vizuelizaciji, koji omogućava stvaranje realističnih scena u igrama, filmovima i arhitekturi. Njime se vrši generisanje finalne slike na osnovu matematičkih i fizičkih modela.
2D grafika uključuje obradu i generisanje slika i crteža. Koristi se u digitalnoj umetnosti, vektorskoj grafici i dizajnu interfejsa. Poznati alati su Adobe Illustrator, CorelDRAW i dr. 3D grafika se fokusira na modelovanje i renderovanje trodimenzionalnih objekata u virtuelnom prostoru. Ključne oblasti primene su: video igre, animacija, vizuelni efekti.
Animacija i simulacija su stvaranje pokreta u digitalnim objektima. Primena računarske grafike je prisutna u zabavi: u filmovima, video-igrama, animaciji, arhitekturi i inžinjeringu, pre svega u projektovanju zgrada i automobila, naučnim simulacijama. U poslednje vreme aktuelno je korišćenje virtuelne i proširene realnosti (VR/AR) u edukaciji i medicini.
Poboljšavanje koda
Diskretna matematika i kombinatorika su osnove za optimizaciju u računarskim naukama, teoriji kompleksnosti i analizi mreža, uključujući primene u logistici i planiranju. Matematičari danas koriste moćne baze podataka i resurse kao što je MathSciNet da bi pratili najnovija istraživanja i objave u ovim oblastima.
Optimizacija hardvera se sastoji u poboljšanju performansi hardverskih komponenti da bi podržale bolje izvršavanje računarskih zadataka. Primer je optimizacija za renderovanje grafike i mašinsko učenje. Optimizacija baza podataka primenjuje tehnike koje poboljšavaju brzinu upita i performanse skladištenja podataka a optimizacija u veštačkoj inteligenciji odnosi se na neuronske mreže, oblasti matematike koje se koriste u optimizaciji su linearno i nelinearno programiranje.
Optimizacija algoritama se odnosi na poboljšanje algoritama kako bi imali manju vremensku složenost i efikasnije koristili resurse kao što je brže sortiranje. Unapređenje softvera uključuje poboljšanje kôda, čime se postiže veća brzina izvršavanja i manja potrošnja memorije.
Optimizacija u računarskim naukama je proces poboljšanja performansi softvera, algoritama ili sistema kako bi se postigla maksimalna efikasnost u smislu brzine, memorijske potrošnje i drugih resursa. Cilj optimizacije je smanjenje vremena izvršavanja, potrošnje energije i memorije, dok se istovremeno postiže optimalan rezultat. Primenjuje se u svim oblastima komjuterskih nauka.
Suštinski alat za istraživače
MathSciNet je bibliografska baza podataka na mreži koju je kreiralo Američko matematičko društvo, 1996. godine. Sadrži celokupan sadržaj časopisa Mathematical Revievs (MR) od 1940. godine, zajedno sa opsežnom bazom podataka o autorima i linkovima do drugih MR unosa, sa citatima, kompletnim unosima u časopisu, linkovima i originalnim člancima. Sadrži skoro 3,6 miliona stavki i preko 2,3 miliona veza do originalnih članaka. Zajedno sa svojom matičnom publikacijom Mathematical Revievs, MathSciNet je postao suštinski alat za istraživače u matematičkim naukama.
MathSciNet vodi računa o jedinstvenoj identifikaciji autora. Njegova pretraga autora omogućava korisniku da pronađe publikacije povezane sa datim zapisom autora, čak i ako više autora ima potpuno isto ime ili ako ista osoba objavljuje pod više imena ili varijanti imena. Pristup bazi podataka je samo putem pretplate i, generalno, nije dostupan pojedinačnim istraživačima koji nisu povezani sa institucijom koja se pretplatila.
Borka Marinković
Kompletni tekstove sa slikama i prilozima potražite u magazinu
"PLANETA" - štampano izdanje ili u ON LINE prodaji Elektronskog izdanja
"Novinarnica"
|
