MAGAZIN ZA NAUKU, ISTRAŽIVANJA I OTKRIĆA
Planeta Br. 116 | NEBO NAŠE NAUKE - Biografski leksikon
»  MENI 
 Home
 Redakcija
 Linkovi
 Kontakt
 
» BROJ 116
Planeta Br 116
Godina XXI
Mart - April 2024.
»  IZBOR IZ BROJEVA
Br. 117
Maj 2024g
Br. 118
Jul 2024g
Br. 115
Jan. 2024g
Br. 116
Mart 2024g
Br. 113
Sept. 2023g
Br. 114
Nov. 2023g
Br. 111
Maj 2023g
Br. 112
Jul 2023g
Br. 109
Jan. 2023g
Br. 110
Mart 2023g
Br. 107
Sept. 2022g
Br. 108
Nov. 2022g
Br. 105
Maj 2022g
Br. 106
Jul 2022g
Br. 103
Jan. 2022g
Br. 104
Mart 2022g
Br. 101
Jul 2021g
Br. 102
Okt. 2021g
Br. 99
Jan. 2021g
Br. 100
April 2021g
Br. 97
Avgust 2020g
Br. 98
Nov. 2020g
Br. 95
Mart 2020g
Br. 96
Maj 2020g
Br. 93
Nov. 2019g
Br. 94
Jan. 2020g
Br. 91
Jul 2019g
Br. 92
Sep. 2019g
Br. 89
Mart 2019g
Br. 90
Maj 2019g
Br. 87
Nov. 2018g
Br. 88
Jan. 2019g
Br. 85
Jul 2018g
Br. 86
Sep. 2018g
Br. 83
Mart 2018g
Br. 84
Maj 2018g
Br. 81
Nov. 2017g
Br. 82
Jan. 2018g
Br. 79
Jul. 2017g
Br. 80
Sep. 2017g
Br. 77
Mart. 2017g
Br. 78
Maj. 2017g
Br. 75
Septembar. 2016g
Br. 76
Januar. 2017g
Br. 73
April. 2016g
Br. 74
Jul. 2016g
Br. 71
Nov. 2015g
Br. 72
Feb. 2016g
Br. 69
Jul 2015g
Br. 70
Sept. 2015g
Br. 67
Januar 2015g
Br. 68
April. 2015g
Br. 65
Sept. 2014g
Br. 66
Nov. 2014g
Br. 63
Maj. 2014g
Br. 64
Jul. 2014g
Br. 61
Jan. 2014g
Br. 62
Mart. 2014g
Br. 59
Sept. 2013g
Br. 60
Nov. 2013g
Br. 57
Maj. 2013g
Br. 58
Juli. 2013g
Br. 55
Jan. 2013g
Br. 56
Mart. 2013g
Br. 53
Sept. 2012g
Br. 54
Nov. 2012g
Br. 51
Maj 2012g
Br. 52
Juli 2012g
Br. 49
Jan 2012g
Br. 50
Mart 2012g
Br. 47
Juli 2011g
Br. 48
Oktobar 2011g
Br. 45
Mart 2011g
Br. 46
Maj 2011g
Br. 43
Nov. 2010g
Br. 44
Jan 2011g
Br. 41
Jul 2010g
Br. 42
Sept. 2010g
Br. 39
Mart 2010g
Br. 40
Maj 2010g.
Br. 37
Nov. 2009g.
Br.38
Januar 2010g
Br. 35
Jul.2009g
Br. 36
Sept.2009g
Br. 33
Mart. 2009g.
Br. 34
Maj 2009g.
Br. 31
Nov. 2008g.
Br. 32
Jan 2009g.
Br. 29
Jun 2008g.
Br. 30
Avgust 2008g.
Br. 27
Januar 2008g
Br. 28
Mart 2008g.
Br. 25
Avgust 2007
Br. 26
Nov. 2007
Br. 23
Mart 2007.
Br. 24
Jun 2007
Br. 21
Nov. 2006.
Br. 22
Januar 2007.
Br. 19
Jul 2006.
Br. 20
Sept. 2006.
Br. 17
Mart 2006.
Br. 18
Maj 2006.
Br 15.
Oktobar 2005.
Br. 16
Januar 2006.
Br 13
April 2005g
Br. 14
Jun 2005g
Br. 11
Okt. 2004.
Br. 12
Dec. 2004.
Br 10
Br. 9
Avg 2004.
Br. 10
Sept. 2004.
Br. 7
April 2004.
Br. 8
Jun 2004.
Br. 5
Dec. 2003.
Br. 6
Feb. 2004.
Br. 3
Okt. 2003.
Br. 4
Nov. 2003.
Br. 1
Jun 2003.
Br. 2
Sept. 2003.
» Glavni naslovi

MATEMATIKA

 

Borka Marinković

Poligonalni brojevi

Isključiva sledstvenost

 

MATEMATIKA

Pitagora

„Algebra je pisana geometrija, a geometrija je algebra u slikama”, jednostavno je objasnila vezu između algebre i geometrije čuvena francuska matematičarka Marija-Sofija Žermen.

NOVOGODIŠNJE MATEMATIČKE ČESTITKE

23 +33 +43 +53 +63 +73 +83 +93=2024
(22*23*24) / 6 = 2024
(2023 2 -1) / 2022 = 2024
2024 je poligonalni, preciznije: tetraedarski broj.

Poligonalni ili, po nekim matematičarima, figurativni broj je prirodan broj predstavljen tačakama (kružićima), raspoređenim u obliku pravilnog poligona (geometrijska figura koja ima jednake sve stranice i sve unutrašnje uglove), pri čemu su tačke jedinice. Poligoni se grade tako što se, od obeležene početne tačke, grade stranice povećavanjem broja tačaka, a zatim se dodaju potrebne dodatne tačke između njih kako bi se formirao poligon.
Eukrit, učenik antičkog filozofa Filolaja, pripadnika Pitagorejske škole, brojeve je predstavljao slaganjem kamenčića tako što je jedan kamenčić označavao jedinicu, dva dvojku itd. Oblikovanjem kamenčića u geometrijske likove, Pitagorejci su  povezali aritmetiku i geometriju.  
1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4… Ili: 1, 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7…
Za Pitagoru je sve bilo broj, a 10 je bio najlepši broj jer se dobija sabiranjem prva 4 prirodna broja (1+2+3+4=10).
Iz istorijskih izvora je poznato da su se Pitagorejci molili nad brojem 10, izgovarajući: „Blagoslovi nas, o Božanski broju, koji si stvorio i bogove i ljude. O sveti, sveti Tetraktise! U tebi je vrelo i u tebi su koreni prirode koja  večno cveta.”

Aritmetika preko dosadašnjih granica

Starogrčki matematičar i astronom Hipsikle je došao do prve opšte definicije pojma k-ugaonog broja (k=3,4,5,6…) koju je citirao Diofant u svom delu „Poligonalni brojevi”: „Ako postoji mnogo brojeva počevši od 1 i ako ih povećavamo za istu razliku, tada je, ako je uzastopna razlika 1 zbir svih brojeva, trougaoni broj; ako je razlika 2 kvadratni broj, kada je 3 petougaoni…”

MATEMATIKA

Pjer Ferma

Francuski matematičar Pjer Ferma se bavio proučavanjem poligonalnih  brojeva. Dotadašnji rad matematičara na poligonalnim brojevima komentarisao je u pismu Mersenu i Paskalu: „Ja sam bio prvi koji je otkrio vrlo lepu i opštu teoremu da je svaki broj ili trougaoni ili suma 2 ili 3 trougaona broja; svaki broj je kvadratni ili suma 2, 3 ili 4 kvadratna broja; petougaoni, ili suma 2, 3, 4 ili 5 petougaonih brojeva; analogno za šestougaone, sedmougaone i sve ostale poligonalne brojeve. Ne mogu da dam dokaz koji zavisi od dubokih i teško razumljivih osobina brojeva; nameravam da tome posvetim celu knjigu i ovaj deo aritmetike unapredim preko dosadašnjih granica.”
Takva knjiga nije nikada objavljena! Tek je matematičar Koši dao prvi dokaz Fermaove teoreme, čime je utemeljen doprinos razvoju savremene matematike. Ojler se takođe interesovao za ove brojeve. Njegova je formula za trougaone brojeve. Po dogovoru, 1 je prvi poligonalni broj za bilo koji broj strana poligona.

Zbir dva trougaona broja je kvadratni broj!

Najčešći i osnovni tipovi poligonalnih brojeva su trougaoni i kvadratni, a poligonalni brojevi se mogu formirati za bilo koji broj stranica pravilnog mnogougla. Trougaoni broj se dobija kada se početnoj tački  u sledećem redu dodaju 2 tačke, čime se formira jednakostranični trougao. Broj 6 se dobija  dodavanjem nove tačke u sledećem redu, pri čimu tačke i dalje obrazuju jednakostranični trougao. Još veći jednakostranični trougao od 10 tačaka dobija se dodavanjem još jedne tačke u sledećem redu, itd.

Pitagori se pripisuje otkriće da je zbir prvih n prirodnih brojeva trougaoni broj:
1+2+3+…+n=1/2 n(n+1)
Trougaoni brojevi su: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36…105… A zbir dva uzastopna trougaona broja je kvadratni broj.
Kvadratni brojevi se formiraju po istom principu kao trougaoni, ali se dodavanjem tačaka gradi kvadrat. Drugi kvadratni broj dobija se sabiranjem prva dva neparna broja 1+3=4, treći sabiranjem prva 3 neparna broja 1+3+5=9, četvrti sabiranjem prva 4 neparna broja 1+3+5+7=16, itd. Uopštavajući, to je formula
1+3+5+…+(2n-1)=n2
Kvadratni brojevi su: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49…100…

MATEMATIKA

Umesto tačkica i krugova

Centralni poligonalni brojevi takođe mogu biti trougaoni, kvadratni, petougaoni itd. Ovi brojevi se formiraju tako što se oko jedne centralne tačke gradi pravilan poligon. Svaki idući pravilan poligon od m stranica ima za m više tačaka od prethodnog jer se svakoj stranici dodaje jedna tačka.
Centralni trougaoni brojevi su: 1, 4, 10, 19, 31… a mogu se izračunati po formuli: 1/2(3n2-3n+2). Centralni kvadratni brojevi su: 1, 5, 13, 25, 41… a formula glasi: 2n2-2n+1. Takođe, postoje petougaoni (pentagonalni), šestougaoni (heksagonalni) i naredni  centralni poligonalni brojevi.

ZADATAK ALBERTA ANŠTAJNA

MATEMATIKA

U prazne krugove upisati  brojeve od 1 do 9, tako da je u svakom krugu jedan broj, pri čemu su zbirovi brojeva u temenima svakog od 7 jednakostraničnih trouglova međusobno jednaki. Zadatak ima više rešenja, a može se dokazati da je zbir brojeva u svakom trouglu 15.  

MATEMATIKA

Iznosi binomnih koeficijenata

Piramidalni ili kvadratni piramidalni broj je figurativan broj formiran od sfera (umesto tačkica-krugova) u obliku piramide čija je osnova kvadrat. Kvadratni piramidalni brojevi mogu biti izraženi kao sume binomnih koeficijenata.
Binomni koeficijenti su tetraedarski brojevi. Ova formula izražava kvadratni piramidalni broj kao zbir dva tetraedarska broja na isti način kao što su kvadratni brojevi sume dva uzastopna trougaona broja. Kvadratni piramidalni brojevi su povezani sa tetraedarskim brojevima.
Binomna teorema je jedna od osnovnih teorema algebre i određuje koeficijente binoma (dvočlani algebarski izraz) predstavljen u razvijenoj formi. Po ovoj teoremi, moguće je predstaviti stepen binoma (x+y)n kao zbir sabiraka oblika k*xayb, gde su k koeficijenti pozitivni celi brojevi i pri čemu je zbir eksponenata a i b jednak n za svaki sabirak (a+b=n).
Koeficijenti u binomnom razvoju nazivaju se binomni koeficijenti i oni su identični brojevima koji se pojavljuju u Paskalovom trouglu. Isti ovi koeficijenti se javljaju u kombinatorici gde je xn-kyk jednak broju različitih kombinacija k elemenata koji se biraju iz skupa od n elemenata.

Prirodni brojevi kao što su savršeni brojevi - Mersenovi, Fermaovi, Fibonačijevi, Lukasovi… - povezani su sa poligonalnim brojevima. 

ZADATAK JANGA HUIJA
(1238-1298)
ZADATAK STANKA
PRVANOVIĆA (1904-1982) 

ZADATAK HENRIJA ERNESTA
DJUDENIJA (1857-1930)

Rasporediti brojeve od 1 do 33 u kružiće sa slike, tako da zbirovi brojeva na svakom od 4 kruga i svakom od 4 prečnika budu isti.
(Rešenje: U  centru je 9, u najmanjem  krugu, počevši od najvišeg polja u smeru kazaljke na satu: 10, 22, 7, 30, 2, 18, 25, 24. U sledećem krugu: 23, 13, 19, 14, 29, 26, 11, 3, u narednom krugu: 16, 1, 31, 21, 32, 17, 5, 15), u najvećem krugu: 20, 33, 12, 4, 6, 8, 28, 27).

Na datoj figuri su označene neke karakteristične tačke.

1. Može li se ta figura nacrtati jednim potezom?

2. Ako može, iz kojih tačaka se može krenuti? (2, 6)

Popuniti peostala polja na slici tako da zbir kvadrata brojeva u dva susedna polja bude jednak zbiru kvadrata brojeva koji su povezani linijama. Brojevi moraju biti različiti.
(Rešenje: 16, 2, 49, 22, 19, 8, 14, 47, 26, 13)

MATEMATIKA

 

 

 

Borka Marinković

 

.

 

 

 

 



Kompletni tekstove sa slikama i prilozima potražite u magazinu
"PLANETA" - štampano izdanje ili u ON LINE prodaji Elektronskog izdanja
"Novinarnica"

 

 

 

  back   top
» Pretraži SAJT  

powered by FreeFind

»  Korisno 
Bookmark This Page
E-mail This Page
Printer Versie
Print This Page
Site map

» Pratite nas  
Pratite nas na Facebook-u Pratite nas na Twitter - u Pratite nas na Instagram-u
»  Prijatelji Planete

» UZ 100 BR. „PLANETE”

» 20 GODINA PLANETE

free counters

Flag Counter

6 digitalnih izdanja:
4,58 EUR/540,00 RSD
Uštedite čitajući digitalna izdanja 50%

Samo ovo izdanje:
1,22 EUR/144,00 RSD
Uštedite čitajući digitalno izdanje 20%

www.novinarnica.netfree counters

Čitajte na kompjuteru, tabletu ili mobilnom telefonu

» PRELISTAJTE

NOVINARNICA predlaže
Prelistajte besplatno
primerke

Planeta Br 48


Planeta Br 63


» BROJ 118
Planeta Br 118
Godina XXI
Jul - Avgust 2024.

 

 

Magazin za nauku, kulturu, istraživanja i otkrića
Copyright © 2003-2024 PLANETA